什么是拐点（数学中什么是拐点）

从目前一些高等数学的教材以及网络上对拐点的定义来看，似乎并不太明确，造成了老黄的一些疑惑，在这里提出来与诸位共同探讨一下。

老黄学习的教材版本中，对拐点的定义是这样的：

定义1：设曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处有穿过曲线的切线，且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点.

理解这个定义，有两个关键点：

①曲线和切线在点(x0,f(x0))互相穿过；

②在U的某邻域内，右侧邻域U (x0)和左侧邻域U-(x0)的凸性是严格且相反的。

按道理，定义肯定要非常准确的。然而，有一些地方，却把函数f(x)=|x^2-1|的点(1,0)和点(-1,0)定义成函数的拐点。那问题就来了，曲线f(x)=|x^2-1|显然在点(1,0)和点(-1,0)这两个点甚至是不可导，更不可能存在切线，又何来切线与曲线互相穿过一说呢？

因此，如果按照这个定义理解，点(1,0)和点(-1,0)就不是f(x)=|x^2-1|的拐点。不过类似这种情况还有很多，在一些地方，造成争论是难免的。按拐点的另一个概念“反曲点”来看。拐点的定义似乎改成下面这个形式更加合适。

定义2：函数y=f(x)在点x0的某邻域内连续，若(x0,f(x0))是曲线y=f(x)凹与凸的分界点，则称(x0,f(x0))为曲线y=f(x)的拐点。

按定义2，点(1,0)和点(-1,0)明显就是f(x)=|x^2-1|的拐点。而且这个定义在网上也是可以考证的，只是它的地位却不如定义1，总是作为定义1的补充说明出现的。所以老黄才会说，目前对拐点的定义并不够明确。

老黄觉得，定义1是把拐点处切线穿过曲线的普遍情形当作定义的一个部分了。但除了普遍情形，其实还有很多特殊情形。一旦写进了定义，就变成了必要条件，从而就会排除掉很多特殊情形，造成定义的不准确。

除了这点，定义1还有很多经不起推敲的地方。比如定义中说“曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的”，其实这种说法是不准确的。因为它意味着，曲线被分成两个区间，然而曲线是可以被分成无数的区间的，只要在相邻两个区间上，满足这个条件就可以了。因此，无论是定义2还是老黄补充的解析②，都明确指出，只需要在x0的某邻域上满足条件就可以了。

另外，还有一点涉及到导数和切线的知识的争议点。那就是定义1中提到，曲线在x0的切线，自然地，函数在x0的切线存在就成了一个必要条件。然而，前面提到的，f(x)=|x^2-1|在拐点点(1,0)和(-1,0)上切线都不存在。

而且切线的存在容易被误认为可导。但其实切线存在未必就可导。因为有一种特殊的情况，是导数等于无穷大时，我们就变它导数不存在，从而也不可导。比如函数y=三次根号x在x=0上就是这种情况。这点让老黄觉得非常别扭。在老黄看来“切线存在”、“导数存在”、“函数可导”这三者如果统一起来，更容易让人接受。