四边形的定义(凸四边形和凹四边形的定义)

平行四边形是中考必考内容之一，我们将从知识点总结、常见考法和误区提醒三个方面进行讲解。离中考的脚步越来越近，每天解决一个小问题，那么每一天都在进步。

知识点总结

1.平行四边形的概念

两组对边分别平行的四边形叫平行四边形，满足一组对边平行，另外一组对边不平行的四边形叫梯形。平行四边形的基本概念，也是判定四边形为平行四边形的一种方法。

2.平行四边形的性质

平行四边形的性质可以从边、角、对角线、对称性四个方面来进行讨论。

（1）从边上看，平行四边形的对边平行且相等，邻边之和的两倍等于平行四边形的周长；（2）从角看，平行四边形的对角相等，邻角互补；（3）从对角线上看，平行四边形的对角线互相平分（注意：只满足互相平分，不满足相等、垂直等）；（4）从对称性看，平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形。

3.平行四边形的判定

平行四边形的判定从边、角、对角线三方面看，但是课本中所给的判定定理是从边和对角线两方面进行阐述。

（1）从边上看，首先由其概念可得，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，其次，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）从对角线上看，对角线互相平分的四边形是平行四边形；（3）从角上看，对角相等的四边形是平行四边形。

常见题型分析

（1）利用平行四边形的性质，求角度、线段长、周长等

例题1：（2020泉港区一模）如图，E、F在ABCD的对角线AC上，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=54°，求∠ADE的度数

分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此可以得到DE=AE=EF=CD，多条线段相等，可设最小的角为x，即设∠EAD=∠ADE=x，根据外角等于不相邻的内角和，得到∠DEC=∠DCE=2x，由平行四边形的性质得出∠DCE=∠BCD-∠BCA=54°-x，得出方程，解方程即可。

例题2：（2020河北模拟）如图，已知四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，点B，C，F，E在同一直线上，AF交CD于O，若BC=10，AO=FO，求CE的长。

分析：根据平行四边形的性质得出AD=BC=EF，AD∥BE，从而得到∠DAO=∠CFO，再加上对顶角相等，可以得到△AOD≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AD=CF，即AD=BC=EF=CF，从而得到线段CE的长度。也可以借助中位线定理解决。

解：∵四边形ABCD和四边形ADEF均为平行四边形，

∴AD=BC，AD=FE，AD∥BE，AF∥DE，

∴AD=BC=FE=10，

∵AF∥DE，AO=FO，

∴CF=FE=10，

∴CE=10+10=20

（2）求线段（边或对角线）的取值范围

例题3：（2019秋莱芜区期末）在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=6，对角线AC、BD相交于点O，则OA的取值范围是多少？

分析：由AB=4，BC=6，利用三角形的三边关系，即可求得2＜AC＜10，根据平行四边形的对角线互相平分，得到OA的取值范围，为1＜OA＜5.

（3）利用平行四边形的性质证明角相等、边相等和直线平行

例题4：（2020春丽水期中）如图，已知E，F分别是ABCD的边CD，AB上的点，且DE=BF．求证：AE∥CF．

分析：由四边形ABCD为平行四边形可得：AB=CD，AB∥CD。由已知条件DE=BF，根据等边减等边可得AF=CE，由此可证明四边形AECF为平行四边形，从而得到AE∥CF。通过此题可知，平行四边形又为我们证明直线平行增加了一种方法。

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD

又∵DE=BF，∴AB-BF=CD-DE，即AF=CE

∴四边形AECF为平行四边形，∴AE∥CF

例题5：（2020山西模拟）如图，在ABCD中，点E是BC上的一点，连接DE，在DE上取一点F使得∠AFE=∠ADC．若DE=AD，求证：DF=CE．

分析：根据平行四边形的性质得到∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，根据题意得到∠AFD=∠C，根据全等三角形的判定和性质定理证明即可

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠ADC，AB∥CD，AD∥BC，

∴∠C+∠B=180°，∠ADF=∠DEC，

∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠ADC，

∴∠AFD=∠C，

又∵AD＝DE，∴△AFD≌△DCE（AAS），∴DF=CE．

（4）利用判定定理证明四边形为平行四边形

例题6：（2020春鼓楼区校级月考）如图，在ABCD中，点E、F在BD上，且BE=AB，DF=CD．求证：四边形AECF是平行四边形．

分析：根据平行四边形的性质可得AB=CD，再加上BE=AB，DF=CD，可以得到BE=DF。平行四边形的对角线互相平分，连接AC交BD于点0，得到OA=OC，OB=OD，等线段减等线段得到OE=OF，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可证明到结论。

证明：连接AC交BD于O，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，AB=CD，

∵BE=AB，DF=CD，

∴BE=DF，∴BO-BE=OD-DF，即OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形．

例题7：（2019秋莱芜区期末）如图，已知平行四边形ABCD中，BD是它的一条对角线，过A、C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，延长AE、CF分别交CD、AB于点M、N．求证：四边形CMAN是平行四边形

证明：∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴AM∥CN，

∵四边形ABCD是平行四边形，∴CM∥AN

∴四边形CMAN是平行四边形

误区提醒

（1）平行四边形的对角线是互相平分，不相等，也不垂直，也不会平分一组对角；

（2）当满足一组对边平行且相等时，可证明四边形为平行四边形，当一组对边平行，另外一组对边相等，不能证明该四边形是平行四边形，该四边形可能为梯形；

（3）平行四边形对角相等，邻角互补，对角不一定互补；

（4）平行四边形的邻边没有什么特殊的性质，邻边之和的两倍等于该平行四边形的周长。

证明平行四边形的方法较多，因此在证明一个四边形是平行四边形时选对方法很重要，同一道题目选择不同的方法，证明的难易程度、繁琐程度会相差很大。

四边形的定义(凸四边形和凹四边形的定义)

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