0不能做除数的原因(一文搞懂0不能做什么数)
0为什么不能做除数?
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最近有个小朋友问我
“为什么不能除以0”。
以前我们听到最多回答就是:
“没意义” “自己琢磨去吧”。
那到底怎么理解呢?
小学时期
第一次接触除法是在小学二年级学习平均分的时候
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假如有12个苹果,
平均分给3个人 12÷3=4(个),对应平均每人分4个。平均分给2个人 12÷2=6(个),对应平均每人分6个。平均分给1个人 12÷1=12(个),对应平均每人分12个。
如果要求平均分给0个人,人都没有让我怎么分?没有实际意义啊,所以不能除以0。
这种虽然解释没错,但有木有更“高端”的解释。
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中学时期
在中学,我们更进一步明白了除法是乘法的逆运算,也掌握了字母表示数这项技能。
如果非要说,有一个数a满足:
1÷0=a
按照以往乘除法互为逆运算的规律,就会得到
1=0×a=0。
出现了矛盾。与我们以前的数的体系不一致。
那0÷0会产生矛盾吗?
根据 4×3=12 知 12÷3=4,
根据 4×2=8 知 8÷2=4,
根据 4×1=4 知 4÷1=4,
根据 4×0=0,知 0÷0=4,
看着好像没问题,但
1×0=0, 0÷0=1,
2×0=0, 0÷0=2,
3×0=0, 0÷0=3,
a×0=0, 0÷0=a.
可以推出0÷0可以等于任何数,这不科学哇!
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说好的乘除法互为逆运算怎么会出现矛盾呢!
大学时期
学习了抽象代数之后,我们知道了域的定义。
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例如有理数域Q,
Q中元素对于加法运算是一个加法交换群。
Q/0中的元素对于乘法运算是一个乘法交换群。
0是加法单位元,
1是乘法单位元,
减法是利用加法逆元定义的,
除法是利用乘法逆元定义的,
注意,再考虑乘法交换群的时候,Q/0,0元素被拿了出去。
也就是说,0元素没有乘法逆元,定义不了以0做除数的除法。
这就意味着0不能做除数。
有了域的严格定义后,避开了0做除数的问题。
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总的来说,如果想让0做除数,就会与已经建立的数系,产生矛盾。
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